ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

สสวท.

ความหมายของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ หมายถึง กระบวนการการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องอาศัยการคิดวิเคราะห์และ / หรือความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ในการรวบรวมข้อเท็จจริง/ข้อความ/แนวคิด/สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ แจกแจงความสัมพันธ์ หรือการเชื่อมโยง เพื่อทำให้เกิดข้อเท็จจริงหรือสถานการณ์ใหม่

รูปแบบของการให้เหตุผล

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้งแล้วรวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะนำไปสู่ข้อสรุปซึ่งเชื่อว่า น่าจะถูกต้อง น่าจะเป็นจริง มีความเป็นไปได้มากที่สุดแต่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริงและยังไม่พบข้อขัดแย้ง เรียกข้อสรุปนั้นว่า ข้อความคาดการณ์

ตัวอย่าง แก้วตาสังเกตว่า ในวันที่โรงเรียนเปิด คุณครูนวลศรีซึ่งมีบ้านอยู่ท้ายซอย จะขับรถผ่านบ้านของแก้วตาไปโรงเรียนทุกเช้าประมาณ 7.00 น. แต่วันนี้สายแล้ว แก้วตายังไม่เห็นคุณครูนวลศรีขับรถไปโรงเรียน แก้วตาจึงสรุปเป็นข้อความคาดการณ์ว่า วันนี้เป็นวันที่โรงเรียนหยุด

พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งถ้าแสดงหรือพิสูจน์ได้ว่า ข้อความคาดการณ์เป็นจริงในกรณีทั่วไป ข้อความคาดการณ์นั้นจะเป็น ทฤษฎีบท ในทางตรงกันข้าม ถ้าสามารถยกตัวอย่างค้าน ได้แม้เพียงกรณีเดียว ข้อความคาดการณ์นั้นจะเป็นเท็จทันที

1. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นกระบวนการที่ยกเอาสิ่งที่รู้ว่าเป็นจริงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ แล้วใช้เหตุผลตามหลักตรรกศาสตร์อ้างจากสิ่งที่รู้ว่าเป็นจริงนั้นเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปหรือผลสรุปที่เพิ่มเติมขึ้นมาใหม่

การให้เหตุผลแบบนิรนัย ประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ

1) เหตุหรือสมมติฐาน ซึ่งหมายถึง สิ่งที่เป็นจริงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง

พิสูจน์ ได้แก่ คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว กฎหรือสมบัติต่างๆ

2) ผลหรือผลสรุป ซึ่งหมายถึง ข้อสรุปที่ได้จากเหตุหรือสมมติฐาน

ในทางคณิตศาสตร์ การให้เหตุผลแบบนิรนัย ประกอบด้วย

1.คำอนิยาม หมายถึง คำที่เราไม่ให้ความหมายหรือให้ความหมายไม่ได้ แต่เข้าใจ

ความหมายได้ โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคย หรือสมบัติที่เข้าใจตรงกันเช่น กำหนดให้คำว่า จุด เส้น และระนาบ เป็นคำอนิยามในเรขาคณิตแบบยุคลิด

2.บทนิยาม หมายถึง ข้อความแสดงความหมายหรือคำจำกัดความของคำที่

ต้องการ โดยอาศัยคำอนิยาม บทนิยามหรือสมบัติต่างๆที่เคยทราบมาแล้ว เช่น กำหนดบทนิยามว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ รูปที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก

3.สัจพจน์ หมายถึง ข้อความที่เรายอมรับหรือตกลงว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง

พิสูจน์ เช่น กำหนดให้ข้อความว่า ระหว่างจุดสองจุดใดๆจะมีส่วนของเส้นตรงเชื่อม เป็นสัจพจน์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด

4.ทฤษฎีบท หมายถึง ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงซึ่งในการพิสูจน์อาจ

ใช้บทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่นๆที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้ว มาอ้างอิงในการพิสูจน์ ข้อความที่เป็นทฤษฎีบทควรเป็นข้อความที่สำคัญ มักนำไปอ้างอิงในการพิสูจน์ข้อความอื่นๆหรือนำไปใช้แก้ปัญหาต่อไป

สสวท.

แหล่งเรียนรู้เพิ่มเติม

1. การพัฒนาสมรรถะพื้นฐานทักษะการให้เหตุผล

2. การให้เหตุผล 1

2.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัย
2.2 การให้เหตุผลแบบนิรนัย

แหล่งที่มา

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards

for School Mathematics. Reston, Virginia : National Council of Teachers of Mathematics.